級數求和法在化學解題中的應用

 　　級數求和法在化學解題中的應用

　　來源： 作者： 加入時間：2008-2-28 17:17:47　閱讀次數：48

　　數學作為一門基礎理論課對于多數學生來說是較為重視的，然而作為一種研究問題的工具，許多學生并未真正感受到它的實用價值，往往低估了數學方法對于學習化學知識及其解決化學問題的重要作用，或不會靈活運用數學這一工具去理解、解決化學問題。其實，許多化學理論、規律、計算等若能靈活而有效地借助數學方法去剖析、推演，往往會有意外的收獲。本文就“級數求和”在化學中的應用問題略作闡述，供參考。

　　算術級數、幾何級數的求和是兩種基本的級數求和問題，它們在化學中對于某些規律和結論的推導及計算題的求解具有極妙的用途，例舉如下：

　　一、算術級數的應用

　　原子結構理論中的一條重要結論：最大容量原理——原子核外第 n主能級層中最多容納的電子數不超過“2n2”。該結論的推導法有多種，然而，算術級數求和法在此結論的推導上具有獨到之處，導法如下：

　　令 n為主能級層的層序數

　　∵第 n主能級層內的電子亞層總數等于該主能級層的層序數

　　且 各電子亞層內的原子軌道數=2×亞層序數-1

　　∴第n主能級層內具有的原子軌道數等于各亞層軌道數之和：

　　1+3+5+7+…+(2n-1)+…

　　又∵每個原子軌道內最多可容納兩個自旋相反的電子

　　∴第 n主能級層內最多可容納的電子數等于各電子亞層內可容納的電子數之和，即有：

　　2+6+10+14+…+2(2n-1)+…

　　顯然，上式為一算術級數

　　且： 首項 a1=2 公差 d=4 通項 a n=4n-2

　　故前n項之和為：

　　即：第 n主能級層內最多容納的電子數為“2n2”。 (推導畢)

　　可見，最大容量原理的上述導出，使其建立在嚴密的數理基礎上，對原子核外電子排布規律的理解和掌握無疑具有積極的作用。

　　二、幾何級數的應用

　　例題 將NO2氣和O2氣以2∶1的體積比混和充滿一支試管中，然后倒立于水里。待充分反應后，試管中仍有部分氣體存在。問該剩余氣體是何物?試管中剩余氣體占試管容積的百分之幾?

　　解法分析：

　　NO2、O2、水三者共存時有反應：

　　3NO2 + H2O === 2HNO3 + NO

　　2NO + O 2 === 2NO2

　　可知，混和氣體在與水充分接觸時，其中NO2被水吸收的同時又產生NO，NO又會很快與O2化合成NO2，NO2又會繼續與水作用……。顯然，以上兩步反應發生循環過程，每完成一輪循環周期便消耗部分混和氣體。循環若干周期后，則各周期消耗氣體(NO2或O2)的量便構成一數列。當O2過量時，反應周而復始，直至無窮，NO2 剩余量的極限為“0”，則氣體消耗量所構成的數列形成一個無窮遞減數列(即所得數列收斂)，而消耗氣體的總量則為該數列

　　解：令試管的容積為V，則試管中NO2和O2氣的量分別為(2/3)V、(1/3)V。

　　據反應方程式可知，體系中各物質間量的關系及每輪循環中各物質體積的變化為：

　　由以上若干循環周期中各物質體積的改變所構成的數列可得：

　　消耗O2氣的總量為：

　　消耗NO2氣的總量為(實際消耗量等于起始消耗量與周尾生成量之差)：

　　顯然，式(1)和式(2)均為幾何級數，且

　　由于：

　　即任一輪循環反應周期中，消耗O2氣和NO2氣的體積之比為1∶4，而反應起始狀態時，有：

　　顯然原混合氣體中O2過量，反應呈無限循環，且式(1)和式(2)均為無窮遞減幾何級數。故有：

　　消耗O2氣的總量為：

　　消耗NO2氣的總量為：

　　則剩余氣體(O2)占試管容積的百分比為：

　　答：充分反應后試管中剩余O2氣，且占試管容積的16.7%。

　　此外，上述解法中消耗O2氣(或NO2)的總量也可用下法計算，即先求其前n項和，再求其極限。

　　級數式(1)的前n項和為：

　　由于式(1)為無窮遞減級數，且級數具有收斂性(q<1)，故：

　　顯然其計算結果與上述解法一致。

　　三、算術·幾何級數的應用

　　例題 比色分析中配制得硫酸銅標準系列溶液的濃度(單位mol/L)依次為： 0.3，0.5，0.7，0.9，……。若將其依次按1∶2∶4∶8∶……∶2n-1的體積比使前六種標準液混和，求混和溶液的濃度。

　　解：令溶液的單位體積為V，則混和前各標準液的體積分別為：

　　V，2V，4V，8V，…，2n-1V，…

　　混和前各標準液中溶質的物質的量依次為：

　　0.3×V，0.5×2V，0.7×4V，0.9×8V，…，[0.3+(n-1)×0.2]×2n-1V，…，

　　據溶液混和的濃度求解法則：

　　有：

　　因V為一常數，故得：

　　顯然，上式左邊為“a=0.3，d=0.2，q=2”的“算術·幾何級數”;而式右邊為“a1=1，q=2”的“幾何級數”。

　　據“算術·幾何級數”的前n項和公式，有：

　　據“幾何級數”的前n項和公式，有：

　　即有： 63C混=70.5

　　解得： C混=1.12 (mol/L)

　　答：混和溶液的濃度為1.12 mol/L。

　　綜上級數在化學解題中的應用實例可見，數學方法的靈活運用為人們開辟了諸多的解題途徑，雖然有些解法思路可能會使解法途徑變得較復雜些，但作為一種數學方法，可培養學生應用數學工具分析、解決化學問題的能力，擴充解題思路和開發智力無疑有其益處。